Bài toán Dirac: Một bài toán lạ

Aug 25, 2012 7:22 PMPublicPageviews 47 0

Xin gửi tới các Bạn một bài toán có tính chất lịch sử..

Đề bài:

Ba người đi câu, câu được một số cá. Trời tối và mệt lả, họ vứt cá vào một cái giỏ rồi mỗi người tìm một nơi và lăn ra ngủ bên bờ sông. Người thứ nhất thức dậy đến cạnh giỏ cá, đếm số cá thấy chia 3 thừa 1 con, bèn vứt bớt xuống sông và xách 1/3 số cá còn lại trong giỏ về nhà. Tiếp đó, người thứ hai thức dậy, đến bên giỏ cá, tưởng 2 bạn mình còn ngủ, anh ta lại đếm số cá, cũng thấy không chia hết cho3 nên vứt 1 xuống sông và xách 1/3 về nhà. Người thứ ba thức dậy, lại đến bên giỏ cá, cũng nghĩ là mình dậy sớm nhất, đếm số cá, xong vứt 1 con, lấy 1/3 mang về.
Biết rằng họ là ba chàng đi câu tồi, bạn hãy tính xem họ câu được bao nhiêu cá tất cả và mỗi người mang về nhà được mấy con, số cá còn lại trong giỏ sau khi cả ba người đi về là mấy con?

Truyền rằng bài toán câu cá trên đây là một bài toán dân gian đã được ra trong một kỳ thi Học sinh giỏi  Toán nước Anh.hồi thế kỷ Xĩ.  Một cậu bé dự thi lúc bấy giờ, tên là Paul Dirac, đã cho một lời giải ngộ nghĩnh bất ngờ.

1. Nghiệm Dirac của bài toán: Gọi x là số cá câu được, n là số cá còn lại trong giỏ, ta tính được kết quả: x=(27n + 38)/8 với n = 8/3. m – 2 và m là một số nguyên thuộc B(3) - bội số của 3 -
Vì họ câu tồi nên x phải nhỏ nhất, nghĩa là n nhỏ nhất, cũng tức là m nhỏ nhất, ta lấy m = 0. Từ đó có đáp số: 
n = -2 và x = -2. Số cá trong giỏ, sau khi cả 3 anh chàng đã lấy phần mình mang về nhà, đúng bằng số cá cả 3 câu được: x = n = -2
Vậy hiểu kết quả này như thế nào? Cậu bé giải thích: Người thứ nhất ngủ dậy, đếm thấy (-2) con cá, không chia hết cho 3, bèn vứt xuống sông thêm 1 con để số cá trở thành (-3); anh ta lấy 1/3 tức là (-1) con, để lại (-2) con cho 2 bạn còn đang ngủ. Người thứ 2 và thứ 3 cũng làm như vậy và kết quả là mỗi người mang được (-1) con cá về nhà!!!Thật công bằng vì ai cũng được phần cá như nhau!!!Dĩ nhiên trên đây chỉ là một lời giải ngộ nghĩnh cho một bài toán cũng ngộ nghĩnh!

2. Số âm và số dương: Âm và dương đối xứng. Vậy ta thử đổi các nghiệm âm của Dirac ra dương: x = n = +2 và xem thử chúng có ý nghĩa nào không?Người thứ nhất ngủ dậy, đếm thấy có 2 con cá, không chia hết cho 3 bèn câu thêm 1 con từ bờ sông lên để số cá trở thành (+3); anh ta lấy 1/3 tức là (+1) con, để lại (+2) con cho 2 bạn còn đang ngủ. Người thứ 2 và thứ 3 cũng làm như vậy và kết quả là mỗi người mang được (+1) con cá về nhà.Cũng công bằng vì mỗi người đều được nhận phần cá như nhau!Như thế, chỉ cần đổi nghiệm Dirac âm ra dương ta sẽ có một lời giải ìnghiêm túc” cho một đề Toán cũng ìnghiêm túc”: đừng vứt cá trở lại xuống sông mà hãy câu thêm cá từ dưới sông lên!

Vậy, đứng trước một bài toán, hãy cố gắng nhìn hết các khía cạnh, tìm cho ra hết các nghiệm, dù rằng sau đó có cái phải loại đi vì tính không phù hợp của nó